什么是插值
插值的核心问题是：在已知两个点的情况下，如何找到它们之间的中间点。 举个人走路的例子，起点在家门口(A点)，终点在公司(B点)，总的路程为1000米，假设人是匀速移动，如果走到一半(t=0.5)，那么人就在家和公司的正中间，如果走到四分之一(t=0.25)，那么离家250米，离公司750米。 线性插值（LERP） 是最简单的一种：它假设两个点之间的变化是“直线型、匀速”的。
公式
$$ x_t = (1-t)x_0 + t x_1, \quad t \in [0,1] $$ 把两个量$x_0$和$x_1$按加权$1-t$与$t$做加权平均，得到他们之间的线性过渡点。$x_0$是起点，$x_1$是终点，$t$是插值因子，控制起点与重点的位置。当 $t=0$，结果是 $x_0$；当 $t=1$，结果是 $x_1$；当 $t=0.5$，结果是中点；$t$从0到1连续变化时，$x_t$沿着二者之间等速变化（为什么是等速，待会解释）。 先上个图看看直观体会一下。 
如图所示起点$x_0$为坐标（1，1），终点$x_1$（4，3），当$t$从0开始连续变化是，$x_t$的位置会朝着$x_1$的方向变化。
- 当$t=0$时，坐标为(1 - 0) x (1, 1) + 0 x (4, 3) = (1, 1)。
- 当$t=0.2$时，坐标为(1 - 0.2) x (1, 1) + 0.2 x (4, 3) = (1.6, 1.4)。
- 当$t=0.5$时，坐标为(1 - 0.5) x (1, 1) + 0.5 x (4, 3) = (2.5, 2)。
- 当$t=1$时，坐标为(1 - 01) x (1, 1) + 1 x (4, 3) = (4, 3)。
通过公式可以算出每个时间的位置，但是如果要知道每个位置变化的速度/趋势我们应该怎么来衡量了？ 那自然就是要求导数了。 $$ \frac{d}{dt}x_t = x_1 - x_0 $$ 可以看到其倒数是一个常数，那就意味着变化是匀速的，以上图为例，都是朝着(4,3)-(1,1)=(3,2)的向量方向去变化。 
有了这个变化量，假设我们时间步$\Delta t=0.1$，那么意味着每次变化的位置是0.1 x (3,2) = (0.3, 0.2)；假设当前位置是(1,1)那么就可以计算出下一个时间步的位置为$(1,1)+(0.3,0.2)=(1.3,0.2)$。这就与我们此前flow matching里面的公式$x_{k+1} = x_k + v_\theta(x_k, t_k)\Delta t$。
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