局部最小与全局最小 对应任何目标函数f(x)，当然这里的目标函数可以是损失函数。如果在x处对应的f(x)小于x附近任意点的f(x)，那么f(x)是局部最小的。如果f(x)在x处的值是整个域中目标函数的最小值，那么f(x)是全局最小值。 除了局部最优解外，鞍点也是梯度为0的区域。什么是鞍点了？如下图。 在深度学习模型训练中，通常往往会有许多局部最优解或鞍点，要解决这种局部最优解需要一定程度的噪音才能使参数跳出局部最小值，实际上使用小批量随机梯度下降也可以将参数从局部极小值中跳出。 梯度下降(gd) 对于多变量的输入$\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_d]^\top$的情况。它的梯度也是多元的，是一个由$d$个偏导数组成的向量： $$\nabla f(\mathbf{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_d}\bigg]^\top$$ 梯度中的每个偏导数元素$\partial f(\mathbf{x})/\partial x_i$代表了当输入$x_i$时$f$在$\mathbf{x}$处的变化率。最陡下降的方向由负梯度$-\nabla f(\mathbf{x})$得出。选择合适的学习率$\eta > 0$来生成典型的梯度下降算法： $$\mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x} - \eta \nabla f(\mathbf{x})$$ 假设一个目标函数$f(\mathbf{x})=x_1^2+2x_2^2$，并有二维向量$\mathbf{x} = [x_1, x_2]^\top$作为输入，标量作为输出。则梯度$\nabla f(\mathbf{x}) = [2x_1, 4x_2]^\top$给出。下面是梯度从[-5,-2]开始进行下降。 注意，在实际训练时，如果f(x)是损失函数，那么x就是参数，通常对应的是w。 随机梯度下降(sgd) 在深度学习中，在训练数据时，有很多样本，按照前面的梯度下降方法，那么对于多个样本的损失我们可以使用平均值来表示。给定$n$个样本的训练数据集，我们假设$f_i(\mathbf{w})$是关于索引$i$的训练样本的损失函数，其中$\mathbf{w}$是参数向量，我们得到损失函数为： $$f(\mathbf{w}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n f_i(\mathbf{w})$$ $\mathbf{w}$的目标函数的梯度计算为 $$\nabla f(\mathbf{w}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \nabla f_i(\mathbf{w})$$ 如果使用梯度下降法，每计算一次梯度，需要对所有的样本做计算求平均，如果每个自变量迭代的计算代价为$\mathcal{O}(n)$，它随$n$线性增长。这样的方法虽然计算梯度准确性高，但是当训练数据集较大时，每次迭代的梯度下降计算代价将较高。 随机梯度下降（SGD）就是要降低计算量，在计算梯度时，不要对所有样本进行计算，而是在随机梯度下降的每次迭代中，对数据样本随机均匀采样一个索引$i$，也就是只取一个样本计算计算梯度， 其中$i\in{1,\ldots, n}$，并计算梯度$\nabla f_i(\mathbf{w})$以更新$\mathbf{w}$： $$\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \nabla f_i(\mathbf{w}),$$ 其中$\eta$是学习率。可以看到，每次迭代的计算代价从梯度下降的$\mathcal{O}(n)$降至常数$\mathcal{O}(1)$。此外，我们要强调，随机梯度$\nabla f_i(\mathbf{w})$是对完整梯度$\nabla f(\mathbf{w})$的无偏估计，因为 $$\mathbb{E}i \nabla f_i(\mathbf{w}) = \frac{1}{n} \sum{i = 1}^n \nabla f_i(\mathbf{w}) = \nabla f(\mathbf{w}).$$ 这意味着，平均而言，随机梯度是对梯度的良好估计。 总结一下，梯度下降使用全量数据计算梯度更新参数，适合小数据集，而随机梯度下降每次使用一个样本更新，适合大数据集。 小批量随机梯度下降(minibatch-sgd) 使用随机梯度下降只取一个样本，虽然降低了计算难度，但是如果样本差异较大时梯度波动大，收敛不稳定，而且不能做并行计算。对梯度下降和随机梯度下降做一个折中，对于批量输入样本，我们分为多个小批量，计算梯度是我们使用小批量来计算梯度，这样相对梯度下降不是算全部，同时对于如果是多GPU并行计算的，多个小批量可以并行， $ (w, b) \leftarrow (w, b) - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \nabla_{(w, b)} \ell^{(i)}(w, b) $ 公式中的$B$是抽样的小批量，是固定数量的训练样本。梯度公式也可以表示为如下，其中$Xi$是第$i$个输入样本，$W$是参数： $$ \mathbf{g}{t, t-1} = \frac{\partial \mathbf{W}}{|\mathcal{B}_t|} \sum{i \in \mathcal{B}t} f(\mathbf{X}{i}, \mathbf{W}_{t-1}) $$ 总结一下，梯度下降使用全量数据更新参数，随机梯度下降每次使用一个样本更新，而小批量随机梯度下降则每次使用一小部分样本更新，介于二者之间。 动量法(momentum) 动量法是深度学习中一种常用的参数优化方法，旨在加速梯度下降优化过程，特别是在处理高维数据时能够帮助模型更快地收敛。其核心思想借鉴了物理中的动量概念，目的是避免在梯度下降过程中由于局部震荡而导致的效率低下。 在标准的梯度下降中，更新参数的方式是直接沿着梯度的方向调整参数： $$ w_t = w_{t-1} - \eta \nabla_w L(w_{t-1}) $$ 其中： - $w_t$ 是当前的参数， - $\eta$ 是学习率， - $\nabla_w L(w_{t-1})$ 是当前参数的梯度。 动量法的思想是，不仅考虑当前的梯度，还要考虑前几次更新的方向和大小，从而引入“惯性”来加速优化过程，避免参数更新过程中出现震荡。具体的更新规则如下： 首先，计算当前参数的梯度： $$ \nabla_w L(w) $$ 引入一个速度变量（momentum），根据上一次的速度和当前的梯度来计算新的速度： $$ v_t = \beta v_{t-1} + (1 - \beta) \nabla_w L(w) $$ 其中： - $\beta$ 是动量衰减因子，通常取值在 $[0, 1)$ 之间，表示前一次更新的影响程度， - $v_t$ 是当前的“速度”，表示参数更新的方向和大小。 用速度来更新参数： $$ w_t = w_{t-1} - \eta v_t $$ 其中： - $\eta$ 是学习率，控制更新的步长。 动量法有什么效果了？ 加速收敛：动量法能够加速收敛过程，特别是在处理高维数据时，能够减少梯度下降中震荡的现象。 克服局部最小值：动量法有助于跳出局部最小值，帮助优化算法在复杂的损失函数中找到更优的解。 提高稳定性：动量法通过结合前几次的梯度信息，使得参数更新更平滑，避免了仅依赖当前梯度时可能出现的震荡。 动量法有什么不足？ 参数选择：动量法的效果在不同任务中依赖于动量衰减因子 $\beta$ 和学习率 $\eta$ 的选择，可能需要多次调参才能找到最优的参数。 计算开销：相比于标准的梯度下降，动量法需要额外保存上一次的梯度信息，因此增加了一定的内存开销。 常见的动量法变种？ Nesterov Accelerated Gradient (NAG)：NAG 是动量法的一种改进方法，它在计算梯度时会考虑当前的速度，以更好地调整更新方向。 自适应动量法（Adam）：Adam 优化器结合了动量法和自适应学习率的方法，广泛用于深度学习中，能够自动调整每个参数的学习率。 总结下，动量法是深度学习中常见的优化算法，通过引入前几次梯度的加权平均，帮助加速收敛，减少震荡，并有效地应对复杂的损失函数。在实际应用中，动量法常常和其他优化方法结合使用，如自适应学习率方法（Adam）等。 Adam adam是在动量法的基础上再加上自适应学习率，所谓自适应学习率就是根据历史梯队信息动态的调整。 想象一下你正在穿越一个复杂的地形，找到最低点，在道路平坦的地方你可以迈出大步，崎岖的地方减速这就是自适应调整学习率，同时你又保持一个动量，在你下一次动作时会有上一次的冲量，当转弯时会有上一次的动量也不至于一下偏差很远而错过。 Adam优化器通过计算梯度的一阶矩（即梯度的平均值）和二阶矩（即梯度的平方的平均值）来动态调整每个参数的学习率。具体的步骤如下： 首先计算一阶矩和二阶矩，对于每个参数$w$，Adam维护两个变量： 一阶矩 $m_t$（动量）：梯度的指数加权平均。 二阶矩$v_t$（自适应学习率）：梯度的平方的指数加权平均。 这两个变量分别更新如下： $m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) \nabla_w L(w)$ $v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) (\nabla_w L(w))^2$ $\nabla_w L(w)$ 是当前参数的梯度， $\beta_1$和 $\beta_2$是控制一阶矩和二阶矩衰减率的超参数，通常取值为 0.9 和 0.999。 由于在初始阶段一阶矩和二阶矩的估计偏向于零，Adam对这两个矩进行偏差修正：$\hat{m_t} = \frac{m_t}{1 - \beta_1^t}$,$\hat{v_t} = \frac{v_t}{1 - \beta_2^t}$ 最后，使用修正后的矩估计来更新参数：$w_t = w_{t-1} - \eta \frac{\hat{m_t}}{\sqrt{\hat{v_t}} + \epsilon}$。 $\eta$是学习率， $\epsilon$ 是一个小常数（如 $10^{-8}$），用来避免除以零的情况。 Adam有什么优点？ 自适应学习率：Adam会自动调整每个参数的学习率，这样可以在训练过程中避免手动调整学习率的麻烦。 结合了动量法和自适应学习率：通过一阶矩和二阶矩的估计，Adam能够更有效地处理不同参数在训练过程中的变化，避免了梯度下降过程中出现的震荡。 适用于大规模数据和高维参数：Adam能够在处理大规模数据时稳定并高效地收敛，特别是在处理稀疏梯度（如自然语言处理任务）时表现尤为突出。 Adam有什么缺点？ 超参数调整：尽管Adam是自适应的，但在某些情况下，仍然需要调整超参数（如学习率 $\eta$，$\beta_1$ 和 $\beta_2$）才能获得最好的训练效果。 可能导致过度拟合：在某些任务中，使用Adam优化器可能会导致模型的过度拟合，需要适当的正则化策略来避免。 Adam优化器通过结合动量法和自适应学习率调整的机制，能够加速模型训练过程，提高收敛速度，尤其适用于处理大规模数据和复杂的深度学习模型。

层的概念 在前面http://www.laumy.tech/2013.html有说明"层与块"概念，为了加深影响，本章再简要概括一下深度学习中常见的层。 在深度学习中，层（Layer)是神经网络的基本构建模块，负责对输入数据进行特定变换（如线性加权、非线性激活、特征提取等）。每一层接收输入数据，通过内部参数和计算规则生成输出，传递给下一层。常见的层有全连接层、激活函数层、卷积层、池化层、归一化层（Normalization Layer）、正则化（dropout）。当然层还可以自己定义。 全连接层 全连接层（Fully Connected Layer）是指当前层每个神经元均与前一层的所有神经元相，通过权重矩阵和偏置向量实现全局特征整合。全连接层计算公式为y=wx+b。其作用是将局部特征（如卷积层提取的边缘、纹理）映射为全局语义信息（如物体类别），常用于分类或回归任务的输出层。 下面是一个全连接层的结构。从上面的结构可以总结一下全连接层的参数计算公式，Params=(输入节点+1）×输出节点数,公式中的+1代表的是偏置项（bias）。 因此上图中的总参数量为：（4+1）*5 + (5+1)*3 = 25 + 18 = 43。 卷积层 卷积核是在输入数据上滑动，计算局部区域的加权和（如3×3窗口），其作用可以捕边缘、纹理、形态等基础特征。 卷积核的参数计算公式为，参数量=(卷积核高×卷积核宽×输入通道数+1)×输出通道数。上图示例中，输入2通道，输出1通道，所以参数量为2*2*2*1 = 8,这里没有考虑偏置bias。从这里可以看出，相对卷积层比全连接层参数很少很多。

图像增广 什么是图像增广？图像增广（Image Augmentation）是通过对原始图像进行一系列随机变换（如旋转、裁剪、颜色调整等）生成多样化样本的数据增强技术，旨在扩充训练数据集、提升模型泛化能力。其核心逻辑是模拟真实场景中可能存在的多样性，使模型学习到更鲁棒的特征。 深度学习中泛化能力是模型对未见过的新数据的适应能力，其核心体现在从训练数据中学习通用规律而非简单记忆特例。应用图像增广可以随机改变训练样本可以减少模型对某些属性的依赖，从而提高模型的泛化能力。 d2l.set_figsize() img = d2l.Image.open('../img/cat1.jpg') d2l.plt.imshow(img); 常用的图像增广方法有翻转和裁剪、改变颜色等，大多数图像增广都是随机性，下面定义一个函数应用图像增广后显示的效果。 def apply(img, aug, num_rows=2, num_cols=4, scale=1.5): Y = [aug(img) for _ in range(num_rows * num_cols)] #for循环随机增强输出num_rows * num_cols个图像 #创建了一个列表Y，包含了num_rows * num_cols个增强后的图像 #aug(img)是对img应用增强操作。 d2l.show_images(Y, num_rows, num_cols, scale=scale) img：输入原始的图像 aug：输入的增强函数 num_rws: 显示增广后图像的行数。 num_cols: 显示增广后图像的列数。 scale：调整显示图像的缩放比例。 翻转和裁剪 翻转有左右翻转、上下翻转，翻转该不会改变对象的类别，下面看看效果。 apply(img, torchvision.transforms.RandomHorizontalFlip()) apply(img, torchvision.transforms.RandomVerticalFlip()) 除了翻转还可以随机裁剪。 shape_aug = torchvision.transforms.RandomResizedCrop( (200, 200), scale=(0.1, 1), ratio=(0.5, 2)) apply(img, shape_aug) 改变颜色 改变颜色可包括几个方面包括亮度、对比度、饱和度和色调。 color_aug = torchvision.transforms.ColorJitter( brightness=0.5, contrast=0.5, saturation=0.5, hue=0.5) apply(img, color_aug) 混合增强 在实际项目中，可以将多种图像增广方面混合起来，可以调用Compose来实现。 augs = torchvision.transforms.Compose([ torchvision.transforms.RandomHorizontalFlip(), color_aug, shape_aug]) apply(img, augs) 微调(fine-tuning) 微调是在一个预训练模型的基础上，针对特定任务或数据集进行进一步训练，以便使模型能够更好的使用新的数据和任务。微调的步骤如下： 在源数据上预训练源模型。 创建一个新的目标模型，将源模型上的所有设计及参数（除输出层外）复制到目标模型。 新的目标模型添加输出层，输出数是目标数据集中类别数，只随机初始化该输出的参数。 新的目标集上训练目标模型。输出层是从头训练，而其他层是根据源模型参数进行微调。 为什么要微调？因为一个新的模型训练很贵，不但需要重新标注数据集、训练，那既然已经有训练好的模型，我们为何不根据训练好的模型稍加调整，站在巨人的肩膀上了? 为什么可以微调了? 一般神经网络可以分成两块 特征提取： 将原始的像素变成容易线性分割的特征。 softmax回归：线性分类器做分类。 因此特征提取部分一般是通用做法，所以容易复用，我们只需要替换到softmax输出层重新训练即可。 微调中权重参数是怎么初始化的？对于特征提取部分直接复制原来预训练的模型，输出层因为是修改替换的，所以需要重新随机初始化进行训练。微调训练是一个目标数据集上的正常训练任务，但是使用更强的正则化，具体体现在使用更小的学习率和使用更少的数据迭代。预训练模型源数据集若远远复杂于新目标数据集，通常微调效果更好。 下面是使用ResNet-18作为源模型来进行微调概要示例。 pretrained_net = torchvision.models.resnet18(pretrained=True) #定义和初始化预训练模型，指定pretrained=True，表示自动下载预训练的模型参数。 pretrained_net.fc #.fc表示最后输出层即全连接层，先打印看看效果 # 打印结果：Linear(in_features=512, out_features=1000, bias=True) # 可以看到最后输出层是输入512，输出1000的全连接层 finetune_net.fc = nn.Linear(finetune_net.fc.in_features, 2) #我们将最后的全连接层修改为输入不变，但是输出为2的全连接层，表示只分类2个目标。 nn.init.xavier_uniform_(finetune_net.fc.weight); #对新定义的全连接层fc进行权重初始化，采用的是xavier均分布方法 train_fine_tuning(finetune_net, 5e-5) #使用新的模型进行训练。 微调是通过使用大数据上得到预训练好的模型来初始化模型权重来完成提升精度，使用微调通常速度更快、精度更高。 目标检测 目标检测或目标识别是用于识别图像中多个感兴趣的目标，不仅知道他们的类别，还需要知道他们在图像中的具体位置。 如上图，图中有个狗和猫，通过一个边缘框框起来，边缘框左上角坐标+右下角坐标即可定位。 锚框（anchor box） 目标检测既然要在图像中检测出感兴趣目标的位置（坐标），那么就需要遍历框住不同的区域来进行识别。目标检测算法会在输入图像中抽样大量区域，然后判断这些区域中是否包含我们感兴趣的目标，并调整区域边缘，从而更准确的预测目标的真实边界框。不同的模型抽样的方法不同，这里主要介绍的是以每个像素为中心，生成多个缩放比和宽高比不同的边界框，这些边界就称为锚框。 如何生成锚框了？ 假设输入图像的高度是h，宽度是w。那么就以每个像素按照缩放比（scale）和宽高（aspect ratio）比，为中心生成不同形状的锚框，那么锚框的宽度和高度分别为[锚框的宽度和高度分别是$hs\sqrt{r}$和$hs/\sqrt{r}$。]。在实践中，如果按照缩放比和宽高比组合时，每个输入图像共有$whnm$个锚框，这样数量太庞大，计算复杂度会很高，因此只考虑包含s和r的组合。$(s_1, r_1), (s_1, r_2), \ldots, (s_1, r_m), (s_2, r_1), (s_3, r_1), \ldots, (s_n, r_1).$，这样对于整个输入图像，将生成$wh(n+m-1)$个锚框。 img = d2l.plt.imread('../img/catdog.jpg') h, w = img.shape[:2] print(h, w) X = torch.rand(size=(1, 3, h, w)) Y = multibox_prior(X, sizes=[0.75, 0.5, 0.25], ratios=[1, 2, 0.5]) # multibox_prior返回的形状是（批量大小，锚框的数量，4） Y.shape 输处： 561 728 torch.Size([1, 2042040, 4]) 可以看到运行后，锚框的数量是2042040。 d2l.set_figsize() bbox_scale = torch.tensor((w, h, w, h)) fig = d2l.plt.imshow(img) show_bboxes(fig.axes, boxes[250, 250, :, :] * bbox_scale, ['s=0.75, r=1', 's=0.5, r=1', 's=0.25, r=1', 's=0.75, r=2', 's=0.75, r=0.5']) 上面是画出坐标[250,250]像素点，取一些s/r值的锚框效果。 如何衡量锚框和真实目标边界框的相似性了，使用交并比IoU，即两个边界框相交面积与相并面积的比。给定集合$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，他们的杰卡德系数是他们交集的大小除以他们并集的大小： $$J(\mathcal{A},\mathcal{B}) = \frac{\left|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}\right|}{\left| \mathcal{A} \cup \mathcal{B}\right|}.$$ 交并比的取值范围是0~1:0表示两个边界无重合像素，1表示两个边界完成重合。 在实际训练中如何标注锚框了？ 在实际训练中，我们将每个锚框视为一个训练样本，为了训练目标检测模型，我们为每个锚框的类别和偏移进行标签，类别是与锚框相关的目标类别，偏移是真实边界框相对锚框的偏移量。在预测的时候，首先每张图片生成多个锚框，预测所有锚框的类别和偏移量，根据预测的偏移量调整他们的位置以获得预测的边界框，最后输出符合条件的预测边界框。 在预测时，可能输出许多相似的具有明显重叠的预测边界框，他们都围绕同一个目标。为了简化输出，使用非极大值抑制合并属于同一目标的相似的预测边界框。非极大值抑制的主要原理时，进行比较每个预测边界框的置信度，具体使用IoU来比较选取最大值。 通过非极大抑制预测处理后的结果。 区域卷积神经网络 R-CNN R-CNN从图像中选取若干(如2000)提议区域（如锚框是一种选取方法），预测标注他们的类别和边界框（如偏移量），然后使用卷积神经网络对每个提议区域进行前向传播已抽取特征，根据特征来预测类别和边界框。 使用R-CNN一般使用的是预训练来的卷积网络来抽取图像特征，但是每个图像会选出上千个提议区域，每个提议区域都需要经过卷积计算，这样也要上千次的卷积神经网络前向传播来执行目标检测，因此这样速度会很慢。 Fast R-CNN R-CNN的性能瓶颈主要在于对每个提议区域，卷积神经网络的前向传播都是独立的，没有共享计算。而这些提议区域往往会有重叠，这样会导致特征抽取重复计算。而使用Faster-CNN则进行了改进。 与R-CNN相比，Fast R-CNN用来提取特征的卷积神经网络输入的是整个图像，而不是各个提议区域，这样就不用像R-CNN对每个提议区域都进行卷积神经网络计算。 而选择性搜索生成的n个提议区域还是不变，不同的是Fast R-CNN引入了兴趣区域汇聚层，将卷积神经网络的输出和提议区域作为输入，输出连接后的各个提议区域抽取特征。而R-CNN对提议区域的处理是直接输入到分类器中，输出目标类别。 总结一下Fast R-CNN有主要有两点： 经过卷积神经网络数量不同：R-CNN所有提议区域都需要经过，而Fast R-CNN只需要输入完整的一张图片。 提议区域用处不用：R-CNN将提议区域最终到分类器中输出目标类别，而Fast R-CNN将提议区域和经过卷积神经网络输出的特征当做输入给到兴趣区域池化层。 Faster R-CNN Fast R-CNN的缺点就是在选择性搜索中还是会生成大量的提议区域，为了优化这个提出了Faster R-CNN，提出将选择性搜索替换为区域提议网络，从而减少提议区域生成的数量。 如何减少提议区域生成的数量了？ 主要使用了非极大值抑制，将提议区域中相似的或者说重叠比较多的剔除掉，这样输入到兴趣区域池化层就变少了。 Mask R-CNN 如果训练集标注了每个目标图像的像素级位置，那么可以使用Mask R-CNN。 从上图可以看出 Mask R-CNN相对Faster R-CNN变换点在后面部分，Mask R-CNN将兴趣区域汇聚层替换为兴趣区域对齐层。这里的对齐层就是通过在训练集上实现标注目标的具体位置通过双线性超值来的，这样就可以更精准保留特征图的信息，实现像素级的预测。可以理解为Faster R-CNN兴趣区域层还需要调参经过一堆网络计算预测，而这里通过实现标注的区域进一步确定了位置。 SSD 待补充 YOLO Faster R-CNN的检测分为两个阶段，首先区域提议网络（RPN）生成候选区域，接着在使用卷积神经网络对这些候选区域进行分类和边界框回归。 而yolo是单阶段检测，他将图像分成一个S*S的网格，每个网络预测多个边界框和相应类别的概率。YOLO一次性处理整个图像，直接进行目标分类和定位回归，速度相对较快。Faster R-CNN精度会更高一些，在复杂场景和多目标检测比较优越。而YOLO实时性、低延迟，但是精度偏低，但是随着YOLO的进化精度逐渐在提升。 语义分割 语义分割是对图像中的每个像素进行分类到特定类别中。与目标检测不同的是，目标检测是识别图像中的物体并定位其边界框，而语义分割是则对图像的每个像素进行标注，赋予每个像素一个表情。语义分割是像素级别的分类。语义分割的应用如图像处理背景虚化、智能驾驶路面分割。 语义分割和实例分割的区别是语音分割只对像素类别进行分类，而示例分割是在像素类别中对实例在区分，如下图所示。 最重要的语义分割数据集是Pascal VOC2012。 转置卷积 卷积不会增大原来的输入高宽，要么维持不变、要么减小。而转置卷积则可以用来增大输入高宽。 转置卷积可以认为是卷积的逆过程。 全卷积网络FCN 语义分割是对图像中的每个像素分类，通常输入的图像大小和输出图像的大小要一样，也就是说输出类别的预测与输入图像在像素级上是具有一一对应关系。 FCN是用来做语义分割最早的深度卷积神经网络之一，他使用转置卷积层来替换CNN最后的全连接层。 样式迁移 图像处理经常会遇到滤镜，而使用卷积神经网络，自动将一张图像的风格应用在另外一张图像上，即称为样式迁移。 如上图，将style image中的样式迁移到content image上，就得到一张合成图片。 最终的损失内容损失+样式损失，即总变成损失。也就是说训练的时候输出图像的内容要跟源图像的内容接近，而样式跟样式图片接近。 本文来自： <动手学深度学习 V2> 的学习笔记

深度卷积神经网络AlexNet AlexNet相对LeNet的特点就是层数变得更深了，参数变得更多了。AlexNet由八层组成：五个卷积层、两个全连接隐藏层和一个全连接输出层。AlexNet使用ReLU而不是sigmoid作为其激活函数。 import torch from torch import nn from d2l import torch as d2l net = nn.Sequential( nn.Conv2d(1, 966, kernel_size=11, stride=4, padding=1), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2), nn.Conv2d(96, 256, kernel_size=5, padding=2), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2), nn.Conv2d(256, 384, kernel_size=3, padding=1), nn.ReLU(), nn.Conv2d(384, 384, kernel_size=3, padding=1), nn.ReLU(), nn.Conv2d(384, 256, kernel_size=3, padding=1), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2), nn.Flatten(), nn.Linear(6400, 4096), nn.ReLU(), nn ) X = torch.randn(1, 1, 224, 224) for layer in net: X=layer(X) print(layer.__class__.__name__,'output shape:\t',X.shape) 示例结果： Conv2d output shape: torch.Size([1, 96, 54, 54]) ReLU output shape: torch.Size([1, 96, 54, 54]) MaxPool2d output shape: torch.Size([1, 96, 26, 26]) Conv2d output shape: torch.Size([1, 256, 26, 26]) ReLU output shape: torch.Size([1, 256, 26, 26]) MaxPool2d output shape: torch.Size([1, 256, 12, 12]) Conv2d output shape: torch.Size([1, 384, 12, 12]) ReLU output shape: torch.Size([1, 384, 12, 12]) Conv2d output shape: torch.Size([1, 384, 12, 12]) ReLU output shape: torch.Size([1, 384, 12, 12]) Conv2d output shape: torch.Size([1, 256, 12, 12]) ReLU output shape: torch.Size([1, 256, 12, 12]) MaxPool2d output shape: torch.Size([1, 256, 5, 5]) Flatten output shape: torch.Size([1, 6400]) Linear output shape: torch.Size([1, 4096]) ReLU output shape: torch.Size([1, 4096]) Dropout output shape: torch.Size([1, 4096]) Linear output shape: torch.Size([1, 4096]) ReLU output shape: torch.Size([1, 4096]) Dropout output shape: torch.Size([1, 4096]) Linear output shape: torch.Size([1, 10]) AlexNet是更大更深的LeNet，比LeNet多了10倍的参数，260倍的计算复杂度。同时添加了丢弃法和ReLU。 使用块的网络VGG 通过AlexNet实践，添加更多的层使得模型的效果更好，但是要添加多少层了？是否有一些通用模版可以提供指导，VGG块就是解决这样的问题。将一些列的卷积层封装为一个块方便调用。 import torch from torch import nn from d2l import torch as d2l def vgg_block(num_convs, in_channels, out_channels): layers = [] for _ in range(num_convs): layers.append(nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size=3, padding=1)) layers.append(nn.ReLU()) in_channels = out_channels layers.append(nn.MaxPool2d(kernel_size=2,stride=2)) return nn.Sequential(*layers) def vgg(conv_arch): conv_blks = [] in_channels = 1 # 卷积层部分 for (num_convs, out_channels) in conv_arch: conv_blks.append(vgg_block(num_convs, in_channels, out_channels)) in_channels = out_channels return nn.Sequential( *conv_blks, nn.Flatten(), # 全连接层部分 nn.Linear(out_channels * 7 * 7, 4096), nn.ReLU(), nn.Dropout(0.5), nn.Linear(4096, 4096), nn.ReLU(), nn.Dropout(0.5), nn.Linear(4096, 10)) conv_arch = ((1, 64), (1, 128), (2, 256), (2, 512), (2, 512)) net = vgg(conv_arch) X = torch.randn(size=(1, 1, 224, 224)) for blk in net: X = blk(X) print(blk.__class__.__name__,'output shape:\t',X.shape) 运行结果： Sequential output shape: torch.Size([1, 64, 112, 112]) Sequential output shape: torch.Size([1, 128, 56, 56]) Sequential output shape: torch.Size([1, 256, 28, 28]) Sequential output shape: torch.Size([1, 512, 14, 14]) Sequential output shape: torch.Size([1, 512, 7, 7]) Flatten output shape: torch.Size([1, 25088]) Linear output shape: torch.Size([1, 4096]) ReLU output shape: torch.Size([1, 4096]) Dropout output shape: torch.Size([1, 4096]) Linear output shape: torch.Size([1, 4096]) ReLU output shape: torch.Size([1, 4096]) Dropout output shape: torch.Size([1, 4096]) Linear output shape: torch.Size([1, 10]) VGG是使用可重复使用的卷积块来构建深度卷积神经网络，不同卷积块的个数和超参数可以得到不同复杂度的变种。 网络中的网络NiN 使用卷积层可以减少训练的参数。但从前面AlexNet或者VGG的示例中，卷积层后面全连接层参数是比较大的 LeNet: 1655*120 = 48K AlexNet: 25655*4096 = 26M VGG: 51277*4096 = 102M 哪有没有什么办法可以替换到全连接以减少参数？方法就是将全连接层替换为1*1的卷积层也可以起到全连接层的作用。 import torch from torch import nn from d2l import torch as d2l def nin_block(in_channels, out_channels, kernel_size, strides, padding): return nn.Sequential( nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size, strides, padding), nn.ReLU(), nn.Conv2d(out_channels, out_channels, kernel_size=1), nn.ReLU(), nn.Conv2d(out_channels, out_channels, kernel_size=1), nn.ReLU()) net = nn.Sequential( nin_block(1, 96, kernel_size=11, strides=4, padding=0), nn.MaxPool2d(3, stride=2), nin_block(96, 256, kernel_size=5, strides=1, padding=2), nn.MaxPool2d(3, stride=2), nin_block(256, 384, kernel_size=3, strides=1, padding=1), nn.MaxPool2d(3, stride=2), nn.Dropout(0.5), # 标签类别数是10 nin_block(384, 10, kernel_size=3, strides=1, padding=1), nn.AdaptiveAvgPool2d((1, 1)), # 将四维的输出转成二维的输出，其形状为(批量大小,10) nn.Flatten()) X = torch.rand(size=(1, 1, 224, 224)) for layer in net: X = layer(X) print(layer.__class__.__name__,'output shape:\t', X.shape) 运行结果： Sequential output shape: torch.Size([1, 96, 54, 54]) MaxPool2d output shape: torch.Size([1, 96, 26, 26]) Sequential output shape: torch.Size([1, 256, 26, 26]) MaxPool2d output shape: torch.Size([1, 256, 12, 12]) Sequential output shape: torch.Size([1, 384, 12, 12]) MaxPool2d output shape: torch.Size([1, 384, 5, 5]) Dropout output shape: torch.Size([1, 384, 5, 5]) Sequential output shape: torch.Size([1, 10, 5, 5]) AdaptiveAvgPool2d output shape: torch.Size([1, 10, 1, 1]) Flatten output shape: torch.Size([1, 10]) NiN块使用卷积层加两个1*1卷积层，整个架构没有全连接层，降低了参数的数量。 并行连结的网络GoogleNet 在goodLeNet，基本的卷积块称为Inception块，有四条并行路径组成。googleNet类似于滤波器的组合，可以用各种滤波器尺寸探索图像，不同大小的滤波器可以有效识别不同范围的图像细节。 import torch from torch import nn from torch.nn import functional as F from d2l import torch as d2l class Inception(nn.Module): # c1--c4是每条路径的输出通道数 def __init__(self, in_channels, c1, c2, c3, c4, **kwargs): super(Inception, self).__init__(**kwargs) # 线路1，单1x1卷积层 self.p1_1 = nn.Conv2d(in_channels, c1, kernel_size=1) # 线路2，1x1卷积层后接3x3卷积层 self.p2_1 = nn.Conv2d(in_channels, c2[0], kernel_size=1) self.p2_2 = nn.Conv2d(c2[0], c2[1], kernel_size=3, padding=1) # 线路3，1x1卷积层后接5x5卷积层 self.p3_1 = nn.Conv2d(in_channels, c3[0], kernel_size=1) self.p3_2 = nn.Conv2d(c3[0], c3[1], kernel_size=5, padding=2) # 线路4，3x3最大汇聚层后接1x1卷积层 self.p4_1 = nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=1, padding=1) self.p4_2 = nn.Conv2d(in_channels, c4, kernel_size=1) def forward(self, x): p1 = F.relu(self.p1_1(x)) p2 = F.relu(self.p2_2(F.relu(self.p2_1(x)))) p3 = F.relu(self.p3_2(F.relu(self.p3_1(x)))) p4 = F.relu(self.p4_2(self.p4_1(x))) # 在通道维度上连结输出 return torch.cat((p1, p2, p3, p4), dim=1) b1 = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 64, kernel_size=7, stride=2, padding=3), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1)) b2 = nn.Sequential(nn.Conv2d(64, 64, kernel_size=1), nn.ReLU(), nn.Conv2d(64, 192, kernel_size=3, padding=1), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1)) b3 = nn.Sequential(Inception(192, 64, (96, 128), (16, 32), 32), Inception(256, 128, (128, 192), (32, 96), 64), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1)) b4 = nn.Sequential(Inception(480, 192, (96, 208), (16, 48), 64), Inception(512, 160, (112, 224), (24, 64), 64), Inception(512, 128, (128, 256), (24, 64), 64), Inception(512, 112, (144, 288), (32, 64), 64), Inception(528, 256, (160, 320), (32, 128), 128), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1)) b5 = nn.Sequential(Inception(832, 256, (160, 320), (32, 128), 128), Inception(832, 384, (192, 384), (48, 128), 128), nn.AdaptiveAvgPool2d((1,1)), nn.Flatten()) net = nn.Sequential(b1, b2, b3, b4, b5, nn.Linear(1024, 10)) X = torch.rand(size=(1, 1, 96, 96)) for layer in net: X = layer(X) print(layer.__class__.__name__,'output shape:\t', X.shape) 运行结果： Sequential output shape: torch.Size([1, 64, 24, 24]) Sequential output shape: torch.Size([1, 192, 12, 12]) Sequential output shape: torch.Size([1, 480, 6, 6]) Sequential output shape: torch.Size([1, 832, 3, 3]) Sequential output shape: torch.Size([1, 1024]) Linear output shape: torch.Size([1, 10]) inception块用了4条有不同超参数的卷积层和池化层的路来抽取不同的信息，它主要的优点事模型参数小，计算复杂度第，googleNet用了9个Inception块，是第一个达到上百层的网络。 批量归一化 批量归一化（Batch Normalization，简称BN）是一种在训练神经网络时用于加速收敛、提高模型稳定性和提高性能的技术。它通过规范化每一层的输入，确保每一层的输入具有相同的分布，从而减少了不同层之间数据分布的变化，避免了梯度消失或爆炸问题。 具体来说，批量归一化的过程如下： 计算均值和方差：对于每一层的输入，计算该层在一个小批量（batch）上的均值和方差。通常是在训练过程中，对每个特征（特征是指每一维数据）独立地计算均值和方差。 归一化：利用上述计算出的均值和方差，对输入数据进行归一化。每个输入的值减去该批量的均值并除以该批量的标准差，从而将输入的分布调整为均值为0，方差为1的标准正态分布。 缩放与偏移：归一化后的数据会通过一个可学习的参数进行缩放（scale）和偏移（shift），即引入两个新的参数：γ（gamma）和β（beta）。这些参数允许模型恢复某些可能丢失的信息。 简单理解批量归一化就是对输入的数据按照按照小批量的均值、方差、$\boldsymbol{\gamma}$和$\boldsymbol{\beta}$的公式进行处理，得到输出后的数据。这样也相当于对输入的数据加入了噪音，因此不要和丢弃法混合使用。 $$\mathrm{BN}(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\gamma} \odot \frac{\mathbf{x} - \hat{\boldsymbol{\mu}}\mathcal{B}}{\hat{\boldsymbol{\sigma}}\mathcal{B}} + \boldsymbol{\beta}.$$ $\hat{\boldsymbol{\mu}}_\mathcal{B}$：是小批量 $\mathcal{B}$的样本均值 $\hat{\boldsymbol{\sigma}}_\mathcal{B}$：是小批量$\mathcal{B}$的样本标准差。 由于单位方差（与其他一些魔法数）是一个主观的选择，因此我们通常包含拉伸参数（scale）$\boldsymbol{\gamma}$和偏移参数（shift）$\boldsymbol{\beta}$，它们的形状与$\mathbf{x}$相同。需要注意的是，$\boldsymbol{\gamma}$和$\boldsymbol{\beta}$是需要与其他模型参数一起学习的参数。 由于在训练过程中，中间层的变化幅度不能过于剧烈，而批量规范化将每一层主动居中，并将它们重新调整为给定的平均值和大小。 如下所示： net = nn.Sequential( nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5), BatchNorm(6, num_dims=4), nn.Sigmoid(), nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), BatchNorm(16, num_dims=4), nn.Sigmoid(), nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(), nn.Linear(16*4*4, 120), BatchNorm(120, num_dims=2), nn.Sigmoid(), nn.Linear(120, 84), BatchNorm(84, num_dims=2), nn.Sigmoid(), nn.Linear(84, 10)) 上面的示例中，在卷积层的后面使用了BatchNorm(6, num_dims=4)批量归一化。批量归一化就是固定小批量中的均值和方差，然后学习出适合的偏移和缩放，这样可以加速手链速度，但一般不改变模型的精度 残差网络ResNet 使用残差可以使得模型可以容易得叠加很多层，先来看看，什么是残差网络？残差网络就是由一系列的残差块组成，下图就是一个残差块。用公式表示就是：$X_{l+1} = X_l + F(X_l, W_l)$，，其中$F(X_l, W_l)$是残差。 残差块分有直接映射+残差两部分组成，表示输入经过残差块或直接映射到底输出。 在传统的神经网络中，输入$ X $会经过多层变换（如卷积、激活等），最终得出输出$ Y $。这些变换会逐渐改变输入的信息，试图将其转化为输出的目标形式。而在残差网络中，模型不仅学习输入$ X $到输出 $ Y $的映射，而是学习输入和输出之间的差异，即残差。数学上，可以表示为： $$ Y' = X + F(X) $$ 其中，$ Y' $是网络的最终输出，$ F(X) $ 是通过多个层（如卷积层、激活层等）处理后的结果（这个部分是“残差”），而 $ X $是输入。这里，$ F(X) $ 就是输入 $ X $与输出$ Y $之间的差异。也就是说X加上一个什么样的函数，能逼近Y。 为什么学习残差更容易? 学习从输入到输出的直接映射可能很复杂，特别是在深层网络中，因为输入经过多次变换后，最终的输出可能与输入有很大的差异。传统网络需要学习整个映射过程，这样可能导致训练时出现梯度消失或信息丢失的问题。但是，学习输入和输出之间的残差通常更简单。因为，通常情况下，输入和输出之间的差异（残差）可能是一个相对较小且较简单的函数。这使得网络能更容易捕捉到输入与输出之间的“偏差”，而不是直接学习整个变换过程。 举个例子 假设我们有一个非常深的网络，输入 $ X $ 和目标输出 $ Y $ 之间的关系很复杂。传统的网络可能需要直接学习一个非常复杂的映射函数。与此不同，残差网络并不直接学习这个复杂的映射，而是学习输入 $ X $ 和输出 $ Y $ 之间的差异。 例如，如果输出 $ Y $ 只是输入 $ X $ 加上一个小的偏差（例如，$ Y = X + \epsilon $），那么残差 $ F(X) = \epsilon $ 就是一个简单的学习目标。这个“差异”往往比直接学习整个映射来得容易。 可以把残差看作是一个补充信息。例如，假设你有一个图片分类任务，输入是图片，输出是类别标签。传统网络要直接将图片映射到标签，这个过程非常复杂。而在残差网络中，网络实际上在学习的是“这张图片与类别标签之间的差异”。如果输入与输出之间的关系可以通过一个小的差异来描述，那么网络只需要学习这个差异，训练起来会更容易。 残差网络的关键在于它将学习的重点从直接映射 $ X \to Y $ 转变为学习输入和输出之间的差异（残差） $ F(X) $。这样，网络不仅能更加高效地训练，还能避免深层网络中常见的梯度消失和信息衰减问题。 上图有两个残差块，左图中X可以直接到输出，右图中X经过1*1 Conv层到输出。对于左图当虚线框中的块如果是0，那么X还是原来的X。通过残差在在计算梯度时，可以使得接近输入层的参数可以得到更好的训练，因为经过多层神经网络后，最后一层可以通过“捷径”直到前面的层，这样梯度计算就更方便。 使用残差可以高效的训练靠近输入的神经网络的参数，避免层数的加深，越靠近输入的神经网络层参数变化较小而导致难以训练，因为梯度的计算是从后往前，而最后的参数如果相对较小时，通过链式法则计算（相乘）的前面梯度会更小，也就是前面层数w变化就小。 import torch from torch import nn from torch.nn import functional as F from d2l import torch as d2l class Residual(nn.Module): #@save def __init__(self, input_channels, num_channels, use_1x1conv=False, strides=1): super().__init__() self.conv1 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels, kernel_size=3, padding=1, stride=strides) self.conv2 = nn.Conv2d(num_channels, num_channels, kernel_size=3, padding=1) if use_1x1conv: self.conv3 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels, kernel_size=1, stride=strides) else: self.conv3 = None self.bn1 = nn.BatchNorm2d(num_channels) self.bn2 = nn.BatchNorm2d(num_channels) def forward(self, X): Y = F.relu(self.bn1(self.conv1(X))) Y = self.bn2(self.conv2(Y)) if self.conv3: X = self.conv3(X) Y += X #---------------->核心算法 return F.relu(Y) #构建一个残差块 def resnet_block(input_channels, num_channels, num_residuals, first_block=False): blk = [] for i in range(num_residuals): if i == 0 and not first_block: blk.append(Residual(input_channels, num_channels, use_1x1conv=True, strides=2)) else: blk.append(Residual(num_channels, num_channels)) return blk b1 = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 64, kernel_size=7, stride=2, padding=3), nn.BatchNorm2d(64), nn.ReLU(), nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1)) #b2~b5是残差块生成 b2 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 64, 2, first_block=True)) b3 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 128, 2)) b4 = nn.Sequential(*resnet_block(128, 256, 2)) b5 = nn.Sequential(*resnet_block(256, 512, 2)) net = nn.Sequential(b1, b2, b3, b4, b5, nn.AdaptiveAvgPool2d((1,1)), nn.Flatten(), nn.Linear(512, 10)) X = torch.rand(size=(1, 1, 224, 224)) for layer in net: X = layer(X) print(layer.__class__.__name__,'output shape:\t', X.shape) 运行结果： Sequential output shape: torch.Size([1, 64, 56, 56]) Sequential output shape: torch.Size([1, 64, 56, 56]) Sequential output shape: torch.Size([1, 128, 28, 28]) Sequential output shape: torch.Size([1, 256, 14, 14]) Sequential output shape: torch.Size([1, 512, 7, 7]) AdaptiveAvgPool2d output shape: torch.Size([1, 512, 1, 1]) Flatten output shape: torch.Size([1, 512]) Linear output shape: torch.Size([1, 10]) Sequential( (0): Sequential( (0): Conv2d(1, 64, kernel_size=(7, 7), stride=(2, 2), padding=(3, 3)) (1): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (2): ReLU() (3): MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1, dilation=1, ceil_mode=False) ) (1): Sequential( (0): Residual( (conv1): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (bn1): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) (1): Residual( (conv1): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (bn1): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) ) (2): Sequential( (0): Residual( (conv1): Conv2d(64, 128, kernel_size=(3, 3), stride=(2, 2), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(128, 128, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv3): Conv2d(64, 128, kernel_size=(1, 1), stride=(2, 2)) (bn1): BatchNorm2d(128, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(128, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) (1): Residual( (conv1): Conv2d(128, 128, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(128, 128, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (bn1): BatchNorm2d(128, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(128, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) ) (3): Sequential( (0): Residual( (conv1): Conv2d(128, 256, kernel_size=(3, 3), stride=(2, 2), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(256, 256, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv3): Conv2d(128, 256, kernel_size=(1, 1), stride=(2, 2)) (bn1): BatchNorm2d(256, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(256, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) (1): Residual( (conv1): Conv2d(256, 256, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(256, 256, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (bn1): BatchNorm2d(256, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(256, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) ) (4): Sequential( (0): Residual( (conv1): Conv2d(256, 512, kernel_size=(3, 3), stride=(2, 2), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(512, 512, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv3): Conv2d(256, 512, kernel_size=(1, 1), stride=(2, 2)) (bn1): BatchNorm2d(512, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(512, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) (1): Residual( (conv1): Conv2d(512, 512, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (conv2): Conv2d(512, 512, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1)) (bn1): BatchNorm2d(512, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) (bn2): BatchNorm2d(512, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True) ) ) (5): AdaptiveAvgPool2d(output_size=(1, 1)) (6): Flatten(start_dim=1, end_dim=-1) (7): Linear(in_features=512, out_features=10, bias=True) ) 本文来自： <动手学深度学习 V2> 的学习笔记

图像卷积 图像卷积是有一个卷积核，这个卷积核对输入做相关运算。卷积核从输入的张量左上角开始、从左到右、从上到下进行滑动，每到一个位置时，在该窗口的部分张量与卷积核做点积得到一个输出。 为什么要使用卷积了，主要是要解决以下问题 参数爆炸问：传统全连接网络处理图像时参数规模过大（如1000×1000像素图像需30亿参数），而CNN通过局部连接和权值共享大幅减少参数数量23。 平移不变性缺：卷积核的滑动扫描机制使CNN能识别不同位置的相同特征。 局部相关性建：通过卷积操作捕捉相邻像素间的空间关联性。 如果是多个输入通道，比如图片RGB 3个通道，那么核函数对应有3个核函数，下面是2个通道的示例。 卷积核放在神经网络里，就代表对应的权重（weight)，卷积网络可以起到提取图像特征的作用。 池化pooling 在处理图像时，每个像素的变化会导致参数变化也比较大，随着神经网络层数的上升，每个神经元对其敏感的感受就越大，这样对训练不一定是件好事情。为了减低卷积层对位置的敏感性，可以通过再加一层池化层来解决，池化一般有最大值和平均值两种方法。 maximum pooling: 取池化层窗口的最大值 average pooling: 取池化层窗口的平均值。 池化层与卷积的运算类似，只不过运算不一样。池化窗口从输入张量的左上角开始、从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在池化窗口达到的位置，计算该窗口的子张量最大值或者平均值。 LeNet网络 LeNet是最早的卷积神经网络，在1989年广泛运用在自动取款机中。 import torch from torch import nn from d2l import torch as d2l net = nn.Sequential( nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.Sigmoid(), #第一个参数1表示输入通道，6表示输出通道。这里的通道指的 nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.Sigmoid(), nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(), nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.Sigmoid(), nn.Linear(120, 84), nn.Sigmoid(), nn.Linear(84, 10)) 本文来自： <动手学深度学习 V2> 的学习笔记

简单来说，如下图，第一个图中间5个神经元组成了一个层。第二图3个层组成了块。第三个图中3个块组成了整个模型。 层 层是神经网络的基本计算单元，负责对输入数据进行特定形式的变换，如线性映射、非线性激活等。其主要的功能是接收输入数据，生成输出结果。其中包含学习参数（如全连接层的权重和偏置）或无参数操作（如激活函数），输出形状可能与输入不同，例如全连接层将维度din映射到dout。 全连接层 layer = nn.Linear(4, 5) # 输入维度4，输出维度5 X = torch.randn(3, 4) # 输入形状(3,4) output = layer(X) # 输出形状(3,5) :ml-citation{ref="1,3" data="citationList"} nn.Linerar(4, 5)：这里传入两个参数，第一个参数表示输入数据特征维度（示例是4），第二个参数表示输出特征维度(示例是5)。注意这里是特征维度，而不是样本个数,比如这里的特征维度是4，可以输入[2,4],[6,4]即2行4列或6行4列的数据样本。 激活函数层 layer = nn.ReLU() # 无参数操作 output = layer(torch.tensor([-1, 2, -3])) # 输出[0, 2, 0] :ml-citation{ref="3,5" data="citationList"} 激活函数层也是单独的一层。激活函数层是神经网络中用于引入非线性的部分，它的作用是帮助网络学习到更加复杂的函数映射。没有激活函数，神经网络只能表示线性函数，而引入非线性后，神经网络可以表示更复杂的模式，从而在各种任务（如分类、回归等）中表现得更好。 自定义层 在神经网络中，自定义层是用户根据具体任务需求自定义实现的层。与内置层（全连接层、卷积层）不同，自定义层可以根据特定的逻辑或行为来扩展模型。它允许你在训练和推理过程中执行特殊的操作或改变标准层的行为。使用自定义层可以使某些模型进行特殊计算，比如自定义正则化、损失函数或特殊的激活函数等。 在pytorch中如何实现自定义层，通常是通过继承torch.nn.Module类来实现的，需要定义的内容如下： init:定义层需要的参数或子层。 forward:定义数据如何通过该层传递并执行相应的计算。 无参数层 无参数层不包含任何需要训练的参数，通常用于执行某些固定的操作或计算。比如激活函数、归一化操作、数学变换等。 import torch import torch.nn as nn #继承nn.Module class custom_relu(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() def forward(self, x): return torch.maximum(x, torch.tensor(0.0)) layer = custom_relu() input_data = torch.randn(3, 3) print(input_data) output_data = layer(input_data) print(output_data) 代码运行结果如下： tensor([[ 0.9986, -0.8549, -0.2031], [ 0.8380, 0.6925, -0.9164], [ 0.5807, -0.5719, 1.1864]]) tensor([[0.9986, 0.0000, 0.0000], [0.8380, 0.6925, 0.0000], [0.5807, 0.0000, 1.1864]]) 带参数的层 参数层包含可学习的按时，通常执行一些依赖于权重或偏置的计算，比如线性变换、卷积等。参数层通常会在训练过程中优化这些参数。 import torch import torch.nn as nn class custom_linear_layer(nn.Module): def __init__(self, input_dim, output_dim): super().__init__() self.weights = nn.Parameter(torch.randn(input_dim, output_dim)) self.bias = nn.Parameter(torch.randn(output_dim)) def forward(self, x): return torch.matmul(x, self.weights) + self.bias layer = custom_linear_layer(3, 2) input_data = torch.randn(5, 3) print(input_data) output_data = layer(input_data) print(output_data) 运行结果如下： tensor([[-0.7047, 1.8763, 1.8934], [-0.1341, 0.4411, 0.2252], [ 1.0531, 0.2556, -0.0045], [-0.9485, 1.9396, -0.3373], [-0.4364, 0.4522, -0.3176]]) tensor([[ 2.2790, -0.5707], [ 0.0157, -0.3939], [-0.7449, -0.6362], [ 0.1973, -1.3335], [-0.3929, -0.5201]], grad_fn=<AddBackward0>) 块 块是由多个层组成的复合模块，用于封装重复或复杂功能的代码逻辑，实现模型结构的模块化。包含前向传播逻辑forward的方法、可嵌套其他块或层形成层次化的结构，继承自nn.Module，支持参数管理和自动梯度计算。 Sequential容器 block = nn.Sequential( nn.Linear(4, 5), nn.ReLU(), nn.Linear(5, 3) ) # 包含3个子层：线性→激活→线性 :ml-citation{ref="6,7" data="citationList"} Sequential容器用于按顺序定义一个神经网络模块，它将各个子模块按照定义顺序组合在一起，从而实现前向传播。 输入：假设输入时一个形状为(batch_size, 4)的张量，表示batch_size个样本，每个样本有4个特征。 第一个线性层：输入通过第一个nn.Linear(4, 5), 输出形状变为(batch_size, 5)。 ReLu激活函数：输出经过第一个nn.ReLU,所有负数变为0，正数保持不变，输出仍为形状(batch_size, 5)。 第二个线性层：经过第二个nn.Linear(5, 3)，输出形状变为(batch_size， 3)。 import torch import torch.nn as nn block = nn.Sequential( nn.Linear(4, 5), # 输入样本是4个特征， 转换为5个特征 nn.ReLU(), nn.Linear(5, 3)) #输出3个特征 input_data = torch.randn(2, 4) print(input_data) output_data = block(input_data) print(output_data) 运行结果： tensor([[ 0.3054, 1.0160, -1.7137, -0.3744], [-0.6882, -0.3049, -1.2769, 0.2835]]) tensor([[ 0.4485, 0.6298, -0.1949], [ 0.1992, 0.1609, -0.2480]], grad_fn=<AddmmBackward0>) 自定义块 在pytorch中，自定义块通常是通过继承nn.Module创建的自定义或模型块。可以根据需要组合多个操作或实现一些特定功能，创建属于自己的网络模块。 如何创建自定义块了？ 基层nn.Module: 需要先继承nn.Module，这是pytorch中所有神经网络模块的基类。 定义init方法：在init方法中定义层，例如nn.Linear、nn.Conv2d等操作并初始化他们。 定义forward方法：在forward方法中定义输入数据如何通过自定义层进行处理。 import torch import torch.nn as nn class custom_block(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.fc1 = nn.Linear(4, 5) self.fc2 = nn.Linear(5, 3) self.relu = nn.ReLU() def forward(self, x): x = self.fc1(x) x = self.relu(x) x = self.fc2(x) return x custom_block = custom_block() input_data = torch.randn(2, 4) print(input_data) output_data = custom_block(input_data) print(output_data) 运行结果如下： tensor([[-0.4663, 0.9429, -0.2072, -1.7672], [ 0.6028, -0.2563, -0.3493, 1.2657]]) tensor([[-0.0273, -0.1265, -0.2595], [ 0.1276, -0.0837, -0.4265]], grad_fn=<AddmmBackward0>) 复杂块 待补充 参数管理 在深度学习中，参数管理通常指的是如何管理模块中的参数，确保它们在训练过程中得到适当的更新，或者在不同阶段(如训练、验证、测试)进行适当的操作。有效的参数管理有助于提高模型训练的效率和稳定性。 参数访问 import torch from torch import nn net = nn.Sequential( nn.Linear(4, 8), nn.ReLU(), nn.Linear(8, 1)) X = torch.rand(size=(2, 4)) y = net(X) print(y) print(net[2].state_dict()) print(type(net[2].bias)) print(net[2].bias) print(net[2].bias.data) print(net[2].weight.grad) 运行结果如下： tensor([[-0.1428], [-0.1919]], grad_fn=<AddmmBackward0>) OrderedDict([('weight', tensor([[-0.3178, -0.2009, -0.1120, 0.1502, 0.0054, -0.0864, 0.2142, -0.0564]])), ('bias', tensor([-0.0326]))]) #打印.state_dirct() <class 'torch.nn.parameter.Parameter'> #-打印.bias Parameter containing: tensor([-0.0326], requires_grad=True) tensor([-0.0326]) #打印.bias.data None #打印.weight.grad 也可以使用下面的一次性访问所有参数 print(*[(name, param.shape) for name, param in net[0].named_parameters()]) print(*[(name, param.shape) for name, param in net.named_parameters()]) 运行结果： ('weight', torch.Size([8, 4])) ('bias', torch.Size([8])) ('0.weight', torch.Size([8, 4])) ('0.bias', torch.Size([8])) ('2.weight', torch.Size([1, 8])) ('2.bias', torch.Size([1])) 另外可以使用print打印模型的结构 print(net) 运行如下： Sequential( (0): Linear(in_features=4, out_features=8, bias=True) (1): ReLU() (2): Linear(in_features=8, out_features=1, bias=True) ) 参数初始化 def init_normal(m): if type(m) == nn.Linear: nn.init.normal_(m.weight, mean=1, std=0.01) nn.init.zeros_(m.bias) net.apply(init_normal) net[0].weight.data[0], net[0].bias.data[0] 运行结果如下： (tensor([0.9942, 0.9995, 0.9971, 0.9903]), tensor(0.)) 上面的代码定义了一个init_normal函数，改变了weight和bias，初始化为标准差0.01的高斯随机变量且将参数设置为0。 参数绑定 所谓参数绑定，就是将多个层间使用共享参数，下面看示例。 shared = nn.Linear(8, 8) net = nn.Sequential(nn.Linear(4, 8), nn.ReLU(), shared, nn.ReLU(), shared, nn.ReLU(), nn.Linear(8, 1)) net(X) print(net) print(net[2].weight.data[0] == net[4].weight.data[0]) net[2].weight.data[0, 0] = 100 print(net[2].weight.data[0] == net[4].weight.data[0]) 运行结果如下： Sequential( (0): Linear(in_features=4, out_features=8, bias=True) (1): ReLU() (2): Linear(in_features=8, out_features=8, bias=True) (3): ReLU() (4): Linear(in_features=8, out_features=8, bias=True) (5): ReLU() (6): Linear(in_features=8, out_features=1, bias=True) ) tensor([True, True, True, True, True, True, True, True]) tensor([True, True, True, True, True, True, True, True]) 可以看到第2层和第4层的参数是一样的，他们不仅值相等，当改变其中一个参数，另一个参数也会一起改变为一样的值。 参数存储 在pytorch中可以调用save和load保存和读取文件，示例如下。 import torch from torch import nn from torch.nn import functional as F x = torch.arange(4) print(x) torch.save(x, 'x-file') x2 = torch.load('x-file') print(x2) 打印如下： tensor([0, 1, 2, 3]) tensor([0, 1, 2, 3]) 在训练过程中，可以将参数进行保存，下面是示例。 class nlp(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.hidden = nn.Linear(20, 256) self.output = nn.Linear(256, 10) def forward(self, x): return self.output(F.relu(self.hidden(x))) net = nlp() print(net) X = torch.randn(size=(2, 20)) print(X) Y = net(X) print(Y) torch.save(net.state_dict(), 'nlp.params') clone = nlp() clone.load_state_dict(torch.load('nlp.params')) clone.eval Y_clone = clone(X) Y_clone == Y 打印结果： nlp( (hidden): Linear(in_features=20, out_features=256, bias=True) (output): Linear(in_features=256, out_features=10, bias=True) ) tensor([[-1.3927, -1.9475, -0.6044, -0.5835, -0.5661, -0.4240, -1.4481, -0.0627, 0.7437, 1.0465, 0.1806, 0.1096, -1.2199, 1.1642, 1.0633, 1.3925, 0.3849, 0.9443, -0.4781, 0.6522], [ 1.2506, -0.7369, 0.7148, -0.3734, 1.3801, 0.4163, -1.3707, 0.5407, -0.1734, -1.1068, -0.1630, 1.2899, 0.4753, 0.7332, 0.5401, -0.4011, -0.5356, -0.5833, 0.8288, -0.5439]]) tensor([[-0.6972, -0.0666, 0.5621, -0.4620, -0.1545, 0.2283, 0.1647, 0.1879, 0.1907, -0.1658], [-0.2174, 0.2586, 0.2867, -0.2213, -0.0090, 0.0687, -0.0382, -0.0477, -0.3194, 0.1438]], grad_fn=<AddmmBackward0>) tensor([[True, True, True, True, True, True, True, True, True, True], [True, True, True, True, True, True, True, True, True, True]]) 上面的示例中，先调用torch.save(net.state_dirc(), 'npl.params')将参数保存起来，然后接着通过load_state_dict(torch.load('npl.params'))，将参数读取出来。通过保存参数的方法，可以将训练的实例化进行备份，从上一次保存的参数接着训练。 本文来自： <动手学深度学习 V2> 的学习笔记

前向传播（Forward Propagation） 前向传播是神经网络中从输入数据到输出预测值的计算过程。它通过逐层应用权重（W）和偏置（b），最终生成预测值 $y' $，并计算损失函数$L $。 模型定义 $$ y' = W \cdot x + b $$ 损失函数（均方误差） $$ L = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y'(i) - y_{\text{true}}(i))^2 $$ 示例 输入数据：$x = [1.0, 2.0] $ 真实标签：$y_{\text{true}} = [3.0, 5.0]$ 参数初始值：$W = 1.0, \, b = 0.5$ 前向计算 预测值：$y'(1) = 1.0 \cdot 1.0 + 0.5 = 1.5, \quad y'(2) = 1.0 \cdot 2.0 + 0.5 = 2.5$ 损失函数：$L = \frac{1}{2} \left[ (1.5 - 3)^2 + (2.5 - 5)^2 \right] = \frac{1}{2} (2.25 + 6.25) = 4.25$ 计算图（Computational Graph） 计算图是一种数据结构，用于表示前向传播中的计算过程。图中的节点代表数学操作（如加法、乘法），边代表数据流动（张量）。 对上述线性回归模型，计算图如下： 输入 x → (Multiply W) → (Add b) → 预测值 t_p → (Subtract y_true) → 误差平方 → 求和平均 → 损失 L 节点：乘法、加法、平方、求和、平均等操作。 边：数据流（如 $ x, W, b, y', L$）。 反向传播（Backward Propagation） 反向传播是通过链式法则（Chain Rule），从损失函数$ L $开始，反向计算每个参数$（W, b）$的梯度 $( \frac{\partial L}{\partial W} ) $和$ ( \frac{\partial L}{\partial b} ) $的过程。下面以线性回归模型公式示例： 损失对预测值的梯度 $$ \frac{\partial L}{\partial y'(i)} = \frac{2}{n} (y'(i) - y_{\text{true}}(i)) $$ 预测值对参数的梯度 对权重 $W $：$ \frac{\partial y'(i)}{\partial W} = x(i) $ 对偏置 $b $：$\frac{\partial y'(i)}{\partial b} = 1 $ 合并梯度 权重梯度：$ \frac{\partial L}{\partial W} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial y'(i)} \cdot \frac{\partial y'(i)}{\partial W} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} (y'(i) - y_{\text{true}}(i)) \cdot x(i) $ 偏置梯度：$ \frac{\partial L}{\partial b} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial y'(i)} \cdot \frac{\partial y'(i)}{\partial b} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} (y'(i) - y_{\text{true}}(i)) $ 反向传播示例 使用前向传播的结果： 计算误差项 $$ y'(1) - y_{\text{true}}(1) = 1.5 - 3 = -1.5, \quad y'(2) - y_{\text{true}}(2) = 2.5 - 5 = -2.5 $$ 计算梯度 权重梯度：$\frac{\partial L}{\partial W} = \frac{2}{2} [(-1.5) \cdot 1.0 + (-2.5) \cdot 2.0] = 1.0 \cdot (-1.5 - 5) = -6.5 $ 偏置梯度：$\frac{\partial L}{\partial b} = \frac{2}{2} [(-1.5) + (-2.5)] = 1.0 \cdot (-4) = -4$ PyTorch示例 import torch # 定义参数（启用梯度追踪） W = torch.tensor(1.0, requires_grad=True) b = torch.tensor(0.5, requires_grad=True) # 输入数据 x = torch.tensor([1.0, 2.0]) y_true = torch.tensor([3.0, 5.0]) # 前向传播 y_pred = W * x + b loss = torch.mean((y_pred - y_true) ** 2) # 反向传播 loss.backward() # 输出梯度 print(f"dL/dW: {W.grad}") # 输出 tensor(-6.5) print(f"dL/db: {b.grad}") # 输出 tensor(-4.0) 关键点说明 动态计算图：PyTorch 在前向传播时自动构建计算图。 反向传播触发：调用 .backward() 后，从损失节点反向遍历图，计算所有 requires_grad=True 的张量的梯度。 梯度存储：梯度结果存储在张量的 .grad 属性中。 总结： 概念 作用 示例中的体现 前向传播 计算预测值和损失函数 $ y' = W \cdot x + b, L = 4.25 $ 计算图 记录所有计算操作，为反向传播提供路径 乘法、加法、平方、求和、平均等操作组成的数据结构 反向传播 通过链式法则计算参数梯度 $ \frac{\partial L}{\partial W} = -6.5 $ 输入 x │ ▼ [W*x] → 乘法操作（计算图节点） │ ▼ [+b] → 加法操作（计算图节点） │ ▼ 预测值 y' → [平方损失] → 平均损失 L │ ▲ └──────────────────────────┘ 反向传播（梯度回传）

什么是梯度 梯度(Gradient)是用于描述多元函数在某一点的变化率最大的方向及其大小。在深度学习中，梯度被广泛用于优化模型参数(如神经网络的权重和偏置)，通过梯度下降等算法最小化损失函数。 对于多元函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其梯度是一个向量，由函数对每个变量的偏导数组成，记作： $$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) $$ 其中： $\nabla f$ 是梯度符号（读作“nabla f”）。 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 是函数 $f$ 对变量 $x_i$ 的偏导数。 直观理解梯度 假设有一个二元函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$，其梯度为： $$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 2y) $$ 在点 $(1, 1)$ 处，梯度为 $(2, 2)$，表示函数在该点沿方向 $(2, 2)$ 增长最快。 若想最小化 $f(x, y)$，应沿着负梯度方向 $-(2, 2)$ 移动，即更新参数： $$ x \leftarrow x - \alpha \cdot 2x $$ $$ y \leftarrow y - \alpha \cdot 2y $$ 其中 $\alpha$ 是学习率。 梯度在机器学习中的作用 在机器学习中，梯度表示损失函数（Loss Function）对模型参数的敏感度。例如，对于模型参数 $W$（权重）和 $b$（偏置），梯度 $\nabla L$ 包含两个分量： $$ \nabla L = \left( \frac{\partial L}{\partial W}, \frac{\partial L}{\partial b} \right) $$ 通过沿着负梯度方向更新参数（即梯度下降），可以逐步降低损失函数的值。 梯度下降的示例 目标：最小化函数 （线性回归的损失函数）。 $$ L(W, b) = (W \cdot x + b - y_{\text{true}})^2 $$ 假设 $$ x = 2, \quad y_{\text{true}} = 4, \quad W = 1, \quad b = 0.5 $$ 计算预测值： $$ y_{\text{pred}} = W \cdot x + b = 1 \cdot 2 + 0.5 = 2.5 $$ 计算损失： $$ L = (y_{\text{pred}} - y_{\text{true}})^2 = (2.5 - 4)^2 = 2.25 $$ 计算梯度： $$ \frac{\partial L}{\partial W} = 2 (y_{\text{pred}} - y_{\text{true}}) \cdot x = 2 (2.5 - 4) \cdot 2 = -6.0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial b} = 2 (y_{\text{pred}} - y_{\text{true}}) = 2 (2.5 - 4) = -3.0 $$ 梯度为 $$ \nabla L = (-6.0, -3.0) $$ 参数更新（学习率 $ (\alpha = 0.1)）$： $$ W_{\text{new}} = W - \alpha \cdot \frac{\partial L}{\partial W} = 1 - 0.1 \cdot (-6.0) = 1.6 $$ $$ b_{\text{new}} = b - \alpha \cdot \frac{\partial L}{\partial b} = 0.5 - 0.1 \cdot (-3.0) = 0.8 $$ 梯度计算推导 这个公式是梯度计算中的一部分，计算的是损失函数 (L) 对参数 (W) 的偏导数。我们来一步步推导这个公式。 假设损失函数为： $$ L(W, b) = (W \cdot x + b - y_{\text{true}})^2 $$ 其中$ W$是权重，$b $是偏置，$x $是输入，$y_{\text{true}} $是真实的标签。我们要计算的是损失函数 $L$ 对权重 $W$的偏导数$ \frac{\partial L}{\partial W}$。 步骤 1: 定义损失函数 损失函数是预测值和真实值之间的误差的平方，定义为： $$ L(W, b) = (y_{\text{pred}} - y_{\text{true}})^2 $$ 其中，$y_{\text{pred}} = W \cdot x + b $是模型的预测值。这个损失函数是一个二次函数，目标是最小化它。 步骤 2: 使用链式法则求梯度 我们需要对损失函数 (L) 关于 (W) 求偏导数。首先可以应用链式法则： $$ \frac{\partial L}{\partial W} = \frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}} \cdot \frac{\partial y_{\text{pred}}}{\partial W} $$ 步骤 3: 计算每一部分的偏导数 第一部分: 计算 $\frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}}$。 由于损失函数是平方误差形式： $$ L = (y_{\text{pred}} - y_{\text{true}})^2 $$ 对$y_{\text{pred}}$求导，得到： $$ \frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}} = 2(y_{\text{pred}} - y_{\text{true}}) $$ 第二部分: 计算 $\frac{\partial y_{\text{pred}}}{\partial W}$。 由于 $y_{\text{pred}} $= $W \cdot x + b$，对$ W $求导，得到： $$ \frac{\partial y_{\text{pred}}}{\partial W} = x $$ 步骤 4: 合并结果 现在将两部分结果结合起来： $$ \frac{\partial L}{\partial W} = 2(y_{\text{pred}} - y_{\text{true}}) \cdot x $$ 步骤 5: 将具体数值代入 根据给定的数值 $x = 2$,$ y_{\text{true}} = 4$, $W = 1$, 和 $b = 0.5$，我们首先计算预测值$y_{\text{pred}}$： $$ y_{\text{pred}} = W \cdot x + b = 1 \cdot 2 + 0.5 = 2.5 $$ 然后代入到梯度公式中： $$ \frac{\partial L}{\partial W} = 2(2.5 - 4) \cdot 2 = 2(-1.5) \cdot 2 = -6.0 $$ 所以，损失函数$ L$ 对 $W $的偏导数是 $-6.0$。 总结：对于复杂的梯度计算可以利用链式法则。在该示例中，先令 $y_{\text{pred}} $= $W \cdot x + b$。对$W$求偏导，就可以转化为，$\frac{\partial L}{\partial W} = \frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}} \cdot \frac{\partial y_{\text{pred}}}{\partial W}$，然后可以先求$\frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}} $，再求$\frac{\partial y_{\text{pred}}}{\partial W}$，这样计算就没有这么复杂了。根据公式$\frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}} = 2(y_{\text{pred}} - y_{\text{true}})$,而$\frac{\partial y_{\text{pred}}}{\partial W} = x$,所以$\frac{\partial L}{\partial W} = 2(y_{\text{pred}} - y_{\text{true}}) \cdot x$，因此知道预测值、真实值、输入值、当前的权重和偏置即可算出偏导。同理$b$也可以用类似方法，继而算出损失函数的梯度$\nabla L = \left( \frac{\partial L}{\partial W}, \frac{\partial L}{\partial b} \right)$ pytorch示例 在pytorch中通过自动微分Autograd自动计算梯度，示例如下： import torch # 定义参数（启用梯度追踪） W = torch.tensor(1.0, requires_grad=True) b = torch.tensor(0.5, requires_grad=True) # 输入数据 x = torch.tensor(2.0) y_true = torch.tensor(4.0) # 前向传播 y_pred = W * x + b loss = (y_pred - y_true) ** 2 # 反向传播计算梯度 loss.backward() # 输出梯度 print(f"dL/dW: {W.grad}") # 输出 tensor(-6.0) print(f"dL/db: {b.grad}") # 输出 tensor(-3.0) 概念 数学表达 意义 梯度定义 ∇f = (∂f/∂x₁, …) 多元函数变化最快的方向及其速率 梯度下降 W ← W − α ⋅ ∂L/∂W 沿负梯度方向更新参数以最小化损失函数 PyTorch自动微分 loss.backward() 通过反向传播自动计算所有参数的梯度并存储在 .grad 中

概念 前面我们主要使用的是线性模型，但是线性模型有很多局限性，因为我们要建模的问题并不能单纯使用线性模型就能够拟合的，如下示例。 我们要拟合红色部分的函数，使用线性模型即使在怎么调整W和b都没法进行拟合出来，要拟合这样的函数，我们需要非线性的函数。 如上图，要拟合这样的模型，我们可以使用①②③函数相加再加上一个b偏置。那这里的①②③函数怎么来了，可以看出是wx+b再经过一个sigmoid转换得来，那这里的sigmoid我们就称为激活函数。 激活函数的主要作用是引入非线性，使得神经网络能够处理更复杂的问题并避免退化成线性模型。没有激活函数，神经网络就无法发挥其强大的学习和表达能力。选择合适的激活函数对模型的训练和性能表现至关重要。 常见的激活函数 ReLU 激活函数 公式：$ \text{ReLU}(x) = \max(0, x) $ x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True) y = torch.relu(x) d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'relu(x)', figsize=(5, 2.5)) ReLU激活函数用得比较多，因为其计算相对简单，不需要复杂的指数计算，因为指数计算都很贵。 ReLU函数进行求导，可以发现当输入为负时，导数为0，当输入为正是，导数为1。可以使用y.backward来计算导数，可以理解导数就是梯度。x取不同位置进行求导得到的值，就是相应位置的梯度。 y.backward(torch.ones_like(x), retain_graph=True) d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of relu', figsize=(5, 2.5)) Sigmoid 激活函数 公式： $ \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $ y = torch.sigmoid(x) d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'sigmoid(x)', figsize=(5, 2.5)) Tanh 激活函数 公式： $ \tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} $ y = torch.tanh(x) d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'tanh(x)', figsize=(5, 2.5)) Softmax 激活函数 公式： $ \text{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{K} e^{z_j}} $ 在前面章节中，我们使用softmax用于线性回归的多分类，但其实softmax也可以看做一种激活函数。 softmax将神经网络的输出转换为概率分布，确保每个类别的输出值在0到1之间，且所有类别的概率和为1。如z=[2.0,1.0,0.1] 经过softmax计算转化后得[0.7,0.2,0.1]，如果神经网络的输出为三个类别的得分，表示第一个类别的预测概率最大，约为70%。 总结来说，Softmax 是一种激活函数，它专门用于多分类问题的输出层，帮助模型生成一个概率分布，便于做分类决策。

什么是sotfmax回归 Softmax回归（Softmax Regression），也叫多项逻辑回归，是一种用于多分类问题的分类算法。它是对逻辑回归（Logistic Regression）的一种扩展，适用于处理输出类别数大于2的情况。Softmax回归通过使用Softmax函数来将每个类别的输出转化为一个概率分布，使得输出值能够表示每个类别的概率，并且所有类别的概率之和为1。 举个例子：假设有一个包含3个类别的多分类问题：苹果、香蕉、橙子。对于每个输入样本（例如一张图片），Softmax回归模型会输出三个值（每个类别的概率），也就是概率分布。例如： 苹果的概率：0.6 香蕉的概率：0.3 橙子的概率：0.1 这些概率加起来等于1，模型会将输入样本分类为苹果（因为概率最大）。 softmax函数 对于每个类别$ k $ ，我们会计算一个得分$ z_k $，然后将这个得分转化为概率。得分通常是由输入数据$ \mathbf{x} $与对应类别的权重向量$ \mathbf{w}_k $ 的线性组合给出的：$ z_k = \mathbf{w}_k^T \mathbf{x} + b_k $, 其中，$ \mathbf{w}_k $ 是第$ k$ 个类别的权重，$ b_k$ 是偏置项，$ \mathbf{x} $ 是输入特征向量。Softmax函数用于将这些得分$ z_k $转换成概率。 Softmax函数的形式如下：$ P(y = k | \mathbf{x}) = \frac{e^{z_k}}{\sum_{j=1}^K e^{z_j}} $ 。 $ P(y = k | \mathbf{x}) ) 是输入 ( \mathbf{x} $ 属于类别k的概率。 $ z_k $ 是类别 $ k $ 的得分。 $ \sum_{j=1}^K e^{z_j} $ 是所有类别得分的指数函数的和，确保概率和为1。 交叉熵损失函数 为了训练Softmax回归模型，我们使用交叉熵损失函数来评估模型预测与真实标签之间的差异。交叉熵损失函数的公式如下：$ L(\theta) = - \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^K y_{ik} \log P(y_k = 1 | \mathbf{x}_i) $ 其中： - $ N $ 是训练集中的样本数。 - $ y_{ik} $ 是样本 $ i $是否属于类别 $ k $ 的标签（通常是1或0）。 - $ P(y_k = 1 | \mathbf{x}_i) $ 是输入 $ \mathbf{x}_i $ 属于类别 $ k $ 的概率。 softmax实现示例 数据读取 pip install d2l==0.16 import torch from IPython import display from d2l import torch as d2l batch_size = 256 train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size) 这里直接使用了d2l.load_data_fashion_mnist() 函数加载 Fashion-MNIST 数据集。load_data_fashion_mnist 是 d2l 库中的一个工具函数，用于加载 Fashion-MNIST 数据集并返回训练集和测试集的数据迭代器。train_iter 是训练集的迭代器。test_iter 是测试集的迭代器。数据迭代器是用于在模型训练和评估过程中批量加载数据的对象。batch_size 参数指定了每个批次包含多少个样本。 可以用下面的示例代码打印输入的数据 n = 10 for X, y in train_iter: break X_selected = X[0:n].reshape((n, 28, 28)) titles = [f'Label: {int(label)}' for label in y[0:n]] d2l.show_images(X_selected, 1, n, titles=titles) 定义模型 sotfmax函数 计算softmax的步骤如下： 对每个项求幂（使用exp） 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1 def softmax(X): X_exp = torch.exp(X) print(X_exp) partition = X_exp.sum(1, keepdim=True) print(partition) return X_exp / partition 示例如下： X = torch.normal(0, 1, (2, 5)) #使用正态分布生成2行5列的矩阵 print(X) X_prob = softmax(X) X_prob, X_prob.sum(1) #生成的数据 tensor([[ 0.3141, 0.5186, -0.6949, 0.5918, -2.2370], [-0.3814, 0.8092, -0.1959, 0.7489, 1.8790]]) #torch.exp(X)：对矩阵中每个数据求e^x指数运算后的结果 tensor([[1.3690, 1.6797, 0.4991, 1.8072, 0.1068], [0.6829, 2.2460, 0.8221, 2.1146, 6.5472]]) #X_exp.sum(1, keepdim=True)： 对每一行求和 tensor([[ 5.4618], [12.4129]]) #将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1 (tensor([[0.2506, 0.3075, 0.0914, 0.3309, 0.0196], [0.0550, 0.1809, 0.0662, 0.1704, 0.5275]]), tensor([1., 1.])) 模型和参数 num_inputs = 784 num_outputs = 10 W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True) b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True) def net(X): return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b) 模型还是使用的是线性模式，只是在线性模型的基础上再加了一个softmax函数。模型的数学表示为：$ \hat{y} = \text{softmax}(X W + b) $ $ X \in \mathbb{R}^{n \times 784} $ 是输入样本矩阵，$ n $ 是样本数量。 $ W \in \mathbb{R}^{784 \times 10} $ 是权重矩阵。 $ b \in \mathbb{R}^{10} $ 是偏置向量。 $ \hat{y} \in \mathbb{R}^{n \times 10} $ 是输出矩阵，其中每一行是一个样本的预测类别概率。 softmax 函数的公式为：$ \text{softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j} e^{z_j}} $ 其中 $ z_i $ 是某一类别的得分，$ j $ 遍历所有类别（在这个例子中是 10 个类别）。通过 softmax 函数，每个输出都会被转换为一个概率，所有类别的概率加起来为 1。 定义损失函数 def cross_entropy(y_hat, y): return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y]) y_hat：这是模型的预测输出，通常是一个经过 softmax 函数处理的概率分布。y_hat 的形状通常是 (batch_size, num_classes)，其中 batch_size 是样本数量，num_classes 是类别数量。每一行表示一个样本对各个类别的预测概率。 y：这是实际标签的索引，形状为 (batch_size,)，表示每个样本的真实类别的索引。 y_hat[range(len(y_hat)), y]：这是通过 y 中的类别索引提取 y_hat 中对应类别的预测概率。range(len(y_hat)) 生成一个从 0 到 batch_size-1 的索引序列，表示每个样本。通过 y 索引，获取每个样本对应类别的概率值。 torch.log(...)：对提取的预测概率取对数。交叉熵损失函数中有一个 log 操作，它衡量了预测概率和真实标签之间的差异。 负号：交叉熵是通过负对数似然（negative log-likelihood）计算的，因此需要对结果取负。 损失函数的公式为：$ L = - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log(\hat{y}_{i, y_i}) $, 通过对每个样本的预测概率取对数，并对所有样本的对数损失求和再取负值。 分类精度 分类精度= 样本预测正确数量除以样本总数（len(y)）。 也可以理解是预测对的概率，比如输入样本图片识别正确数为1，总样本数2时，精度为 1/2 = 0.5。 先看看例子，y_hat模型的预测输出，通常是一个二维矩阵，形状为 (样本数, 类别数)。例如，2个样本（输入的图片）3个类别(猫、狗、猪)的输出可能是 [[0.1, 0.2, 0.7], [0.3, 0.4, 0.3]]，即每个样本对应输出的一个概率分布，样本1对应的概率分布[0.1, 0.2, 0.7]，样本2对应的概率分布是[0.3, 0.4, 0.3]，而真实的标签y是一个一维向量，每个元素表示对应样本的正确类别索引，如[2, 1]，其中2代表的是狗，1代表猫。 那y_hat和y怎么做比较和转换了？ 解决的办法就是，我们取每个样本概率分布中最大概率的索引，也就是通过 argmax(axis=1) 沿着行方向（即每个样本）找到概率最大的类别索引。例如，[[0.1, 0.2, 0.7], [0.3, 0.4, 0.3]] 会得到 [2, 1]， 即第一行最大是0.7，索引位置是2，第二行最大是0.4，级索引是1。有了这样的结果，就可以y_hat和y做比较了，比如y=[2,1], 那么y_hat输出结果是[2,1]，那么表示全部预测对。 def accuracy(y_hat, y): if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1: y_hat = y_hat.argmax(axis=1) #y_hat将输出索引如[2,1],下面结算的是y_hat和y进行比较，返回正确的个数。 cmp = y_hat.type(y.dtype) == y return float(cmp.type(y.dtype).sum()) 因此上面这个函数，最终返回的是正确的个数，比如y_hat = [[0.1, 0.2, 0.7], [0.3, 0.4, 0.3]],y是[2,2]经过accuracy函数处理后，返回的是结果是1， 因为y_hat = y_hat.argmax(axis=1)计算后，返回的是[2,1]，与实际的标签[2,2]有一个不对，即第二个样本预测错了。那么最终的分类精度就等于1/2 = 0.5。 训练 def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater): # 将模型设置为训练模式 if isinstance(net, torch.nn.Module): net.train() # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数 metric = Accumulator(3) for X, y in train_iter: # 计算梯度并更新参数 y_hat = net(X) l = loss(y_hat, y) if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer): # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数 updater.zero_grad() l.mean().backward() updater.step() else: # 使用定制的优化器和损失函数 l.sum().backward() updater(X.shape[0]) metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel()) # 返回训练损失和训练精度 return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2] def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater): animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9], legend=['train loss', 'train acc', 'test acc']) for epoch in range(num_epochs): train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater) //返回训练损失和训练精度 test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter) //返回的是测试精度 animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,)) //将其绘制到图像上。 train_loss, train_acc = train_metrics assert train_loss < 0.5, train_loss assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc lr = 0.1 def updater(batch_size): return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size) num_epochs = 10 train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater) 下面是训练的过程显示： train loss: 训练损失，也就是损失函数的结果。是模型在训练集上的平均损失值，通常使用损失函数来衡量。例如，常用的交叉熵损失（cross-entropy loss）或均方误差（mean squared error）。损失越小，说明模型在训练数据上的表现越好。它反映了模型预测值与真实标签之间的差距。 train acc: Training Accuracy, 训练精度。是模型在训练集上的正确预测的比例。它通过比较模型的预测结果和真实标签来计算。训练精度=正确预测的样本数量/总样本数量。训练准确度越高，说明模型在训练数据上的拟合程度越好。训练准确度反映了模型对训练集的学习能力。 test acc: Test Accuracy,测试精度。是指模型在未见过的测试集上的准确度。它与训练准确度不同，测试集用来评估模型的泛化能力。测试准确度反映了模型对新数据的预测能力。如果测试准确度高，说明模型不仅在训练集上表现好，而且具有较强的泛化能力，能够适应未见过的数据。 预测 def predict_ch3(net, test_iter, n=6): for X, y in test_iter: break trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y) preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1)) titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)] d2l.show_images( X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n]) predict_ch3(net, test_iter) 使用训练好的模型，来预测实际的效果： 总结 一、公式和代码 公式：y = softmax(WX+b) 代码实现：y = softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b) 二、输入和输出示例 输入： X= torch.Size([256, 1, 28, 28])-->X=torch.Size([256, 784]) 由于WX要满足矩阵乘，所以要把X做处理X.reshape((-1, W.shape[0])) W=torch.Size([784, 10]) b=torch.Size([10]) 输出: y_hat=torch.Size([256, 10]) -->([256,784])*([784,10]) = ([256, 10])矩阵相乘 下面是打印第一行的结果，也就是对应输入第一个样本的预测结果。 最后为0.99613，如果最后一项是代表是shirt，但是表示第一个样本就是shirt。 tensor([4.8291e-06, 1.2489e-07, 3.7127e-06, 2.1127e-07, 1.3334e-06, 2.6440e-03, 1.9091e-05, 8.7211e-04, 3.2460e-04, 9.9613e-01]) 本文来自： <动手学深度学习 V2> 的学习笔记

线性回归 线性回归模型根据给定的数据集和对应的标签，通过一个函数模型来拟合数据集以及对应标签的映射关系。而这个模型可以设置为y=wx+b的一个函数，其中x和w是一个向量。目标就是找出权重w和偏执b的值，使得模型更逼近数据集合的规律，也就是能够预测的更准确。 线性回归示例实现 pytorch本身有线性回归的函数，只是这里通过实现pytoch来加深理解 读取数据集 def data_iter(batch_size, features, labels): num_examples = len(features) #获取数据的长度，假1000行，输出1000 indices = list(range(num_examples)) #生成一个下标，结果[0,...,999] random.shuffle(indices)#打散indices，使数据随机，结果[77,99,0,13,....] for i in range(0, num_examples, batch_size): #表示从0到num_examples，步长为 batch_size batch_indices = torch.tensor( indices[i: min(i + batch_size, num_examples)]) print(batch_indices) #i 到 i + batch_size 的索引转换为一 PyTorch张量 yield features[batch_indices], labels[batch_indices] #每次循环时，yield 会返回一个元组 (features_batch, labels_batch)， #其中 features_batch 是一个包含该批次特征数据的 Tensor，labels_batch #是该批次对应的标签数据。 定义一个函数data_iter，将数据集（x）、以及数据集对应的特征（y）作为函数输入，分割成大小为batch_size的小批量数据集（x）和特征集（y）。之所以要进行分割每次抽取小批量样本，是利用了GPU并行运算的优势。每个样本都可以并行地进行模型计算，同时在后续计算梯度时，每个样本损失函数的梯度可以被并行计算。 batch_size = 10 for X, y in data_iter(batch_size, features, labels): print(X, '\n', y) break 运行结果 tensor([940, 41, 385, 262, 655, 402, 317, 256, 984, 644]) --print(batch_indices) tensor([[-0.9666, 0.8299], [-1.8890, 0.1645], [ 0.0274, -0.6944], [ 2.0289, 0.7227], [ 1.0077, 0.6674], [ 1.8692, 0.5002], [-0.9469, 1.7404], [ 0.8589, -0.5467], [ 1.1260, 0.1262], [-0.6988, -0.0683]]) tensor([[-0.5347], [-0.1296], [ 6.6105], [ 5.7961], [ 3.9675], [ 6.2448], [-3.5983], [ 7.7625], [ 6.0183], [ 3.0294]]) 那么训练的数据集和特征怎么来了，一般是通过需要训练的目标处理得来，为了方便本章用一个函数来模拟生成数据集。 def synthetic_data(w, b, num_examples): X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w))) y = torch.matmul(X, w) + b y += torch.normal(0, 0.01, y.shape) return X, y.reshape((-1, 1)) 上面这个函数，实际上就是给先指了w和b生成y=wx+b模型中的x和y, 而我们就是要训练找出w和b。 生成输入数据 X：torch.normal(mean, std, size) 用于从正态分布中生成数据。这里，mean=0 表示均值为0，std=1 表示标准差为1。(num_examples, len(w)) 是生成张量的形状，这里 num_examples 是生成的样本数，len(w) 是每个样本的特征数（即权重向量 w 的长度）。所以 X 是一个形状为 (num_examples, len(w)) 的矩阵，其中包含了从标准正态分布中采样的特征数据。 生成标签 y: torch.matmul(X, w) 计算输入特征 X 和权重 w 的矩阵乘法。结果是一个形状为 (num_examples,) 的张量，表示每个样本的预测值（不包括偏置）。+ b 将偏置 b 加到每个样本的预测值中，这样就得到最终的标签 y。这就是线性回归模型中的公式 y = Xw + b。 添加噪声： torch.normal(0, 0.01, y.shape) 生成一个与 y 形状相同的噪声项，噪声来自均值为 0，标准差为 0.01 的正态分布。这一步是为了给数据添加一些随机噪声，使得生成的数据更符合实际情况。现实中，数据通常会有一些误差或噪声，因此我们在标签 y 上添加小的随机波动。 返回数据: X 是生成的输入特征数据。y.reshape((-1, 1)) 将标签 y 转换为一个形状为 (num_examples, 1) 的列向量，以确保标签的形状是列向量。 生成合成的线性数据集，数据集的特征 X 是从标准正态分布中采样的，而标签 y 是通过线性方程 y = Xw + b 生成的，并且在 y 上添加了一些小的噪声。 true_w = torch.tensor([2, -3.4]) true_b = 4.2 features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 10) print('features:', features, '\nfeatures len', len(features), '\nlabel:', labels) 运行结果 features: tensor([[ 4.3255e-01, -1.4288e+00], [ 2.2412e-01, -1.8749e-01], [-5.6843e-01, 1.0930e+00], [ 1.3660e+00, -1.8141e-03], [ 3.9331e-01, -2.4553e-02], [-6.3184e-01, -8.4748e-01], [-1.7891e-02, -1.4018e+00], [-4.8070e-01, 8.5689e-01], [ 2.0670e+00, 3.8301e-02], [ 1.7682e+00, 1.9595e-01]]) features len 10 label: tensor([[ 9.9307], [ 5.2856], [-0.6669], [ 6.9439], [ 5.0759], [ 5.8344], [ 8.9642], [ 0.3175], [ 8.2140], [ 7.0458]]) 定义模型 我们的模型函数是y=wX+b，也就是计算输入特征X和权重W，这里的Xw是一个向量，而b是一个标量，但是用一个向量加上一个标量是，标量会被加到每个分量上，这是广播机制。 def linreg(X, w, b): return torch.matmul(X, w) + b 在开始计算随机梯度下降优化模型参数之前，需要先预设一些参数。下面是使用正态分布随机初始化w和b。 w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True) b = torch.zeros(1, requires_grad=True) w, b 定义损失函数 损失函数就是根据我们采样处理的数据X输入到我们的模型中计算处理的值y’跟真实值y的差距，这里使用平方损失函数,即loss=(y’-y)^2，详细的公式为：$ L(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ell^{(i)}(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \left( w^\top x^{(i)} + b - y^{(i)} \right)^2 \right) $ def squared_loss(y_hat, y): return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2 优化参数 详细的公式为：$ (w, b) \leftarrow (w, b) - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \nabla_{(w, b)} \ell^{(i)}(w, b) $ 损失函数是对对应参数求的偏导，即如果是$w$就是对$w$的偏导，如果是$b$就是$b$的偏导，$x$是当前采样的具体值（不是变量），公式中的$B$是抽样的小批量，是固定数量的训练样本。 具体算法的步骤如下，对于$W$更新参数的公式为： $ w \leftarrow w - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \frac{\partial \ell^{(i)}}{\partial w}(w, b) = w - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} x^{(i)} \left( w^\top x^{(i)} + b - y^{(i)} \right) $ 对于$b$更新参数的公式为： $ b \leftarrow b - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \frac{\partial \ell^{(i)}}{\partial b}(w, b) = b - \frac{\eta}{|B|} \sum_{i \in B} \left( w^\top x^{(i)} + b - y^{(i)} \right) $ 从上面的公式可以看出，梯度是批量误差的和，没处理一个批量数据，更新一次参数，而不是每处理一个数据更新一次参数。 def sgd(params, lr, batch_size): with torch.no_grad(): for param in params: param -= lr * param.grad / batch_size #梯度值为param.grad param.grad.zero_() param.grad是哪里来的？ 系统自动计算而来，下一章节会介绍。 训练 在训练之前，需要先初始化参数， w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True) b = torch.zeros(1, requires_grad=True) w, b 接下来开始训练 lr = 0.03 num_epochs = 5000 net = linreg loss = squared_loss for epoch in range(num_epochs): for X, y in data_iter(batch_size, features, labels): l = loss(net(X, w, b), y) # X和y的小批量损失 # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起， # 并以此计算关于[w,b]的梯度 l.sum().backward() sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数 print('true_w',true_w, 'w', w, '\ntrue_b', true_b, 'b',b) with torch.no_grad(): train_l = loss(net(features, w, b), labels) print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}') print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}') print(f'b的估计误差: {true_b - b}') 为什么l.sum().backward能够自动计算存储梯度值？ 在初始化w和b的参数时，设定了requires_grad=True。在计算损失时，net(X, w, b)会生成预测值y_hat，并通过loss函数与真实值y构建计算图。调用l.sum().backward()时，PyTorch的autograd系统会从标量损失l.sum()开反向传播，自动计算w和b的梯度，并存储在w.grad和b.grad中。 tensor([4, 3, 9, 6, 8, 2, 5, 7, 1, 0]) ---batch_size = 10 true_w tensor([ 2.0000, -3.4000]) w tensor([[ 2.0056],[-3.4014]], requires_grad=True) true_b 4.2 b tensor([4.1983], requires_grad=True) epoch 1, loss 0.000056 tensor([5, 6, 2, 4, 0, 7, 8, 1, 9, 3]) true_w tensor([ 2.0000, -3.4000]) w tensor([[ 2.0056],[-3.4014]], requires_grad=True) true_b 4.2 b tensor([4.1983], requires_grad=True) epoch 2, loss 0.000056 tensor([8, 5, 6, 9, 7, 4, 2, 1, 0, 3]) true_w tensor([ 2.0000, -3.4000]) w tensor([[ 2.0056],[-3.4014]], requires_grad=True) true_b 4.2 b tensor([4.1983], requires_grad=True) epoch 3, loss 0.000056 tensor([9, 3, 5, 2, 8, 0, 7, 4, 6, 1]) true_w tensor([ 2.0000, -3.4000]) w tensor([[ 2.0056],[-3.4014]], requires_grad=True) true_b 4.2 b tensor([4.1983], requires_grad=True) epoch 4, loss 0.000056 tensor([8, 1, 5, 3, 0, 6, 2, 4, 9, 7]) true_w tensor([ 2.0000, -3.4000]) w tensor([[ 2.0056],[-3.4014]], requires_grad=True) true_b 4.2 b tensor([4.1983], requires_grad=True) epoch 5, loss 0.000056 tensor([3, 7, 4, 0, 6, 9, 2, 1, 5, 8]) true_w tensor([ 2.0000, -3.4000]) w tensor([[ 2.0056],[-3.4014]], requires_grad=True) true_b 4.2 b tensor([4.1983], requires_grad=True) epoch 6, loss 0.000056 tensor([7, 4, 6, 1, 0, 5, 3, 8, 9, 2]) true_w tensor([ 2.0000, -3.4000]) w tensor([[ 2.0056],[-3.4014]], requires_grad=True) true_b 4.2 b tensor([4.1983], requires_grad=True) 误差结果： w的估计误差: tensor([-0.0056, 0.0014], grad_fn=<SubBackward0>) b的估计误差: tensor([0.0017], grad_fn=<RsubBackward1>) 本文来自： <动手学深度学习 V2> 的学习笔记